光の位相速度と群速度が一致する場合

屈折率が周波数に依存しない定数である時に、光の位相速度\(v_{c}\)と群速度\(v_{g}\)が一致することを示すメモ。

式

位相速度\(v_{c}\)と群速度\(v_{g}\)は伝搬定数β[1/m]と角周波数ω[Hz]を使って、次のように書ける。

\[
\frac{1}{v_{c}} = \frac{\beta}{\omega} \\
\frac{1}{v_{g}} = \frac{\mathrm{d}\beta}{\mathrm{d}\omega}
\]

ここで、伝搬定数\(\beta = \frac{2\pi}{\lambda}\)であり、\(f\lambda = \frac{n}{c}\)なので、\(\beta = \frac{2\pi fn}{c} = \frac{\omega n}{c}\)。これを上式に代入すると、

\[
\frac{1}{v_{c}} = \frac{\beta}{\omega} = \frac{n}{c} \\
\frac{1}{v_{g}} = \frac{\mathrm{d}\beta}{\mathrm{d}\omega} = \frac{1}{c} \frac{\mathrm{d} (\omega n)}{\mathrm{d}\omega}
\]

したがって、屈折率nが周波数に依存しない定数のとき、\(v_{c} = v_{g}\)。

参考

光ファイバ通信のしくみがわかる本(山下真司著)の2.6節を主に参考にさせていただきました。2002年の本ですが、初学者にわかりやすくて良いと思います。

• 伝搬定数(でんぱんていすう)とは – コトバンク

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